数字的表示与运算

进位计数制与相互转换#

进位计数法#

进制转换#

B -> O 或者 B -> H 三位/四位一组，对应右边一位
O -> B 或者 H -> B 左边一位对应右边三/四位
D -> *
- 除N取余，逆序输出
- 乘N取整，正序输出
- -> D 按权展开

无符号整数的表示#

…

有符号整数的表示#

概念#

真值表示的值
机器数数据重新用无符号整数解释的值
定点小数约定小数点在符号位后
定点整数约定小数点在最后

四种编码方法#

原码#

反码#

补码#

同余
手动真值机器码互转，即相同数据用补码与无符号的的不同解释（假设数字宽度为 $N$ $N$ ）
- 真值转机器码正数不变，负数加上 $2^N$ ，即为机器码
- 机器码转真值把机器码按权展开成十进制，是大于 $2^{N}-1$ 的数字要减去 $2^N$
- 可以利用被转数字与某个特殊数字的和差关系简化运算
变形补码扩大了补码的表示范围，实现溢出判断，只在ALU中才可能出现，存储格式还是补码，可以看作宽度宽一位的补码整数，不过范围里有些数字是非法的，是溢出的结果

移码#

对应的无符号数减去一个偏置量（通常为 $2^{N-1}$ $N$ 为数字的宽度）即为移码的真值

不同宽度的整数的转换#

小到大
- 无符号 0扩展
- 有符号符号拓展
大到小
- 截断

相同宽度的有符号与无符号数的转换#

内容不变重新解释

定点数运算#

比较运算#

无符号数的比较直接比较即可
所有最高位为1的数字小于所有最高位为0的数字，如果最高位相同，还是按照无符号数的比较规则进行比较

移位运算#

逻辑移位右移出1丢失精度，左移出1溢出
算术移位左移操作与逻辑移位相同，一旦移出了和原标志位相反的位则溢出（如正数移出1，负数移出0），右移移出1丢失精度
循环移位

加减运算#

溢出判断#

双符号位
输入输出符号位不同
最高位进位与次高位进位不同

电路实现#

ALU标志位#

ZF
OF 仅对有符号运算有意义
CF 仅对无符号运算有意义
SF

手算#

直接用真值运算，如果没给出真值，则用对应的机器码看作无符号数运算，运算结果是一样的

乘法运算#

对于补码与无符号数乘法，n位乘以n位得到n位的结果的小乘法运算有相同的位级表现，但是对于n位乘以n位得到2n位的结果的大乘法运算有不同的位级表现

原码乘法#

乘法溢出判断#

输入两个宽度为 $N$ 的整数，输出宽度为 $2N$ 的结果

对于无符号数，高 $N$ 位为0
对于补码表示的有符号数，高 $N$ 位的每一位都相同等于低 $N$ 位的符号位

手算#

两个操作数转成真值，两个相乘得到结果的真值再转成机器数

除法运算#

数据的存储和排列#

字节序#

LSB（the Least Significant Bit）
MSB（the Most Significant Bit）
小端序一个跨越了多个字节的数据存储时，首个字节是LSB 现代指令集通常选用的字节序一个指向数字的指针天然的是一个指向更低宽度的数字的指针鸡蛋的小头
大端序一个跨越了多个字节的数据存储时，首个字节是MSB 网络字节序人类的数字表示法鸡蛋的大头

内存对齐#

结构体对齐规则
非对齐访问导致访存效率变低，需要锁住总线保证访存原子性或者不能保证原子性，是未定义或者是低效的

浮点数#

表示#

（-1）^S \cdot R^E \cdot M

S与M 构成小数原码表示法，S是符号，M是大小
E通常用移码表示，如果E的宽度为N，那么偏置值一般是 $2^{N-1}$
规格化 $1/2 \le M \lt 1$ ，增加表示的有效位数

IEEE754#

Pasted image 20240731202916

类型	符号位	阶数	阶数偏置值	尾数	规格化浮点数的真值	有效位数
f32	1	8	127	23	$(-1)^S \cdot 2^{E-127} \cdot 1.M$	24
f64	1	11	1023	52	$(-1)^S \cdot 2^{E-1023} \cdot 1.M$	53

阶数全0与全1有特殊含义，规格化的浮点数不能用

特殊的值#

	符号	阶数	尾数	真值
±0	0/1	全0	全0
±非规格化的浮点数	0/1	全0	非全0	f32: $(-1)^S 2^{-126} 0.M$ ,f64: $(-1)^S 2^{-1022} 0.M$
±inf	0/1	全1	全0
nan	0/1	全1	非全0

特殊值的比较运算#

不考虑nan，+inf大于一切除了+inf的数字，-inf小于一切除了-inf的数字
+0 等于 -0
nan参与的一切比较运算都返回false
对于规格化的浮点数的比较的比较规则与原码比较规则一致

最大安全整数#

f32::MAX_SAFE_INTEGER === 2 ** 24 - 1 f64::MAX_SAFE_INTEGER === 2 ** 53 - 1 再大的整数就不能精确表示了

浮点数与整数的转换#

i32 -> f32: 不会溢出，可能精度丢失
i32 -> f64: 不会溢出，不会精度丢失
i64 -> f32: 不会溢出，可能精度丢失
i64 -> f64: 不会溢出，可能精度丢失
f64 -> i32: 可能溢出，可能精度丢失
f64 -> i64: 可能溢出，可能精度丢失
f32 -> i32: 可能溢出，可能精度丢失
f32 -> i64: 可能溢出，可能精度丢失

加减运算#

对阶小阶对大阶，FPU内部浮点暂存器宽度大于存储宽度，所以尾数右移移出的位不要舍掉，一同参与运算
加减运算
规格化
- 右规约至多规约一位，可能要考虑到上溢出与舍入
- 左规约可能移动多位，可能出现下溢出
舍入
- 就近舍入
- 向正无穷舍入
- 向负无穷舍入
- 向0舍入（截断）
（指数）溢出
- 上溢出抛出异常
- 下溢出结果作为0处理